Mathematische Herausforderung: Was ist 4 × 4 + 4 + 4 × 0?
Beobachten Sie diesen Vorgang genau.
Schauen Sie sich das Bild genau an.
Mathematik
Es erscheint eine sehr kurze Operation:
4 × 4 + 4 + 4 × 0!
Auf den ersten Blick scheint es fast unmöglich, es zu übersehen.
Wir sehen mehrere Vieren, einige Additionen, zwei Multiplikationen und vor allem eine mysteriöse 0! am Ende.
Mehr anzeigen
mathematische
berechnen
Berechnung
Der Text auf dem Bild liefert bereits einen wichtigen Hinweis:
„Die Antwort lautet nicht 20!“
Bildungsressourcen
Aber wie viel bekommen wir dann tatsächlich?
Nehmen Sie sich ein paar Sekunden Zeit, bevor Sie die Berechnung durchführen .
Was ist Ihre Antwort?
Überstürze nichts.
Mehr anzeigen
Philosophie
mathematische
Ressourcen für Autoren
Die Falle liegt nicht in den klassischen Multiplikationen.
Sie befindet sich in den beiden kleinen Zeichen nach der letzten Null.
Ja, das Ausrufezeichen ist hier sehr wichtig.
Und, hast du es gefunden?
Eine Operation, die viel einfacher erscheint, als sie tatsächlich ist
Die meisten Menschen beginnen natürlich damit, die ersten Rechenoperationen durchzuführen.
Mehr anzeigen
Philosophie
Berechnungs- und Nachschlagewerke
berechnen
Wir können sehen:
4 × 4 = 16
Dann addieren wir 4.
Wir erhalten daher bereits:
16 + 4 = 20
Und genau in diesem Moment halten manche Menschen inne.
Mehr anzeigen
Primar- und Sekundarbildung
Mathematik
Bildungsressourcen
Dann betrachten sie das letzte Teilstück, 4 × 0, und denken:
4 × 0 = 0
Das Endergebnis wäre dann 20.
Diese Argumentation erscheint vollkommen logisch.
Mathematik
Doch ein Detail übersieht er völlig.
Das letzte Element ist nicht einfach 0.
Mehr anzeigen
Berechnung
Mathematik
Philosophie
Es ist 0!
Und in der Mathematik kann das Ausrufezeichen hinter einer Zahl eine ganz besondere Bedeutung haben.
Schauen Sie sich das letzte Semester noch einmal an.
Konzentriere dich ausschließlich auf diesen Teil:
4 × 0!
Schauen Sie sich den Rest der Operation nicht an.
Was bedeutet das Ausrufezeichen?
In diesem Kontext handelt es sich nicht um ein Satzzeichen, das Überraschung ausdrückt.
Es stellt eine mathematische Operation dar, die Fakultät genannt wird.
Die Fakultät einer positiven ganzen Zahl besteht darin, diese Zahl mit allen positiven ganzen Zahlen zu multiplizieren, die ihr vorausgehen.
Zum Beispiel :
4! = 4 × 3 × 2 × 1
Daraus ergibt sich:
4 ! = 24
Aber hier haben wir keine vier!
Wir haben 0!
Und genau da wird die Falle interessant.
Viele Menschen vergessen diese Regel.
Wenn wir 0! sehen, können wir sofort reagieren:
„Null mal etwas ergibt Null.“
Das ist aber nicht die Bedeutung des Ausdrucks.
Das Ausrufezeichen wandelt Null in eine Fakultät um.
In der Mathematik ist 0! als gleich 1 definiert.
Dies ist eine grundlegende Regel der Fakultäten.
ALSO :
0 ! = 1
Und folglich:
4 × 0 ! = 4 × 1
Daraus ergibt sich:
4
Deshalb ist das Ergebnis nicht 20.
Aber hör noch nicht auf.
Nun müssen alle Operationen korrekt und in der richtigen Reihenfolge durchgeführt werden.
Warum ist 0 gleich 1?
Diese Regel mag auf den ersten Blick seltsam erscheinen.
Warum sollte die Fakultät von Null gleich 1 sein, wenn die Zahl selbst Null ist?
Die Antwort liegt in der Definition von Fakultäten.
Für positive Zahlen gilt:
1 ! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Wir können auch die folgende Beziehung verwenden:
n ! = n × (n − 1) !
Nehmen wir an, n = 1:
1 ! = 1 × 0 !
Aber wir wissen Folgendes:
1 ! = 1
Daher ist es notwendig, dass:
Mehr anzeigen
Fleisch und Meeresfrüchte
Obst und Gemüse
Käse
0 ! = 1
Diese Konvention erlaubt es uns, die mathematischen Eigenschaften der Fakultät zu erhalten.
Dies ist also kein Trick, der speziell für diese Herausforderung erfunden wurde.
Das ist eine echte mathematische Regel.
Führen Sie die Berechnung nun Schritt für Schritt durch.
Betrachten wir den vollständigen Ausdruck:
4 × 4 + 4 + 4 × 0!
Als Erstes muss die Fakultät berechnet werden.
Wir wissen, dass:
0 ! = 1
Der Ausdruck lautet daher:
4 × 4 + 4 + 4 × 1
Als nächstes müssen die Berechnungsprioritäten beachtet werden.
Multiplikationen werden vor Additionen durchgeführt.
Daher berechnen wir:
4 × 4 = 16
Und :
4 × 1 = 4
Der Ausdruck lautet nun:
16 + 4 + 4
Jetzt müssen sie nur noch addiert werden:
16 + 4 = 20
Dann :
20 + 4 = 24
Sie haben nun das Ergebnis.
Bevor Sie es aber offiziell bekannt geben, überprüfen Sie Ihre eigenen Berechnungen noch einmal.
Hüten Sie sich vor einem weiteren möglichen Fehler
Manche versuchen, die Operation strikt von links nach rechts durchzuführen.
Dann würden sie Folgendes tun:
4 × 4 = 16
Dann :
16 + 4 = 20
Dann würden sie mit dem Rest fortfahren.
Diese Methode ist nicht korrekt, wenn Multiplikationen und Additionen gemischt sind.
In der Mathematik haben Rechenoperationen Prioritäten.
Multiplikationen müssen vor Additionen durchgeführt werden, es sei denn, eine Klammer gibt eine andere Reihenfolge vor.
Hier stehen keine Klammern.
Daher müssen wir mit Multiplikationen beginnen, nachdem wir die Fakultät richtig interpretiert haben.
Dies ist eine doppelte Schwierigkeit, die leicht zu einem Fehler führen kann.
Nimm dir noch ein paar Sekunden Zeit.
Betrachten Sie den Ausdruck ein letztes Mal:
4 × 4 + 4 + 4 × 0!
Stelle dir drei Fragen.
Welchen Wert hat 0!?
Was ist der Vorrang bei Multiplikation und Addition?
Und wie hoch ist die Endsumme?
Wenn Sie 24 geantwortet haben, haben Sie die Falle wahrscheinlich schon entdeckt.
Wenn Sie 20 geantwortet haben, haben Sie die Null einfach als gewöhnliche Null behandelt und die Fakultät vergessen.
Das ist nicht überraschend: Das Ausrufezeichen ist sehr dezent und kann leicht als einfaches Gestaltungselement interpretiert werden.
Die richtige Antwort lautet…
Die richtige Antwort ist 24.
Hier die vollständige Begründung:
4 × 4 + 4 + 4 × 0!
Erstens :
0 ! = 1
Der Ausdruck lautet nun:
4 × 4 + 4 + 4 × 1
Als Nächstes führen wir die Multiplikationen durch:
16 + 4 + 4
Dann die Ergänzungen:
16 + 4 + 4 = 24
Das Endergebnis lautet daher:
24
Das Ergebnis 20 würde sich ergeben, wenn wir fälschlicherweise annehmen würden, dass 0 ! = 0.
Das ist aber nicht der Fall.
Das Symbol „!“ ist nicht dekorativ: Es steht für die Fakultät.
Warum dieses kleine Symbol alles verändert
Das ist es, was diese Operation interessant macht.
Ohne das Ausrufezeichen hieße es einfach:
4 × 4 + 4 + 4 × 0
Und das Ergebnis wäre tatsächlich:
20
Aber mit der Fakultät wird der letzte Term zu:
4 × 0 ! = 4 × 1 = 4
Das letzte Teilstück addiert daher 4 zum Ergebnis, anstatt Null zu addieren.
Eine einzige kleine Änderung genügt, um das Endergebnis komplett zu verändern.
Es ist auch eine gute Erinnerung: Wenn eine mathematische Operation zu einfach erscheint, sollte man sich die Zeit nehmen, jedes Symbol zu betrachten.
Ein einfaches Zeichen kann eine präzise Bedeutung haben.
Hast du 24 gefunden?
Hätten Sie von Anfang an 24 geantwortet, hätten Sie wahrscheinlich sofort die Falle der 0 bemerkt!
Falls Sie 20 geantwortet haben, sehen Sie sich den Ausdruck jetzt noch einmal an, da Sie die Regel kennen.
Sie werden sehen, dass der letzte Term nicht „4 mal null“ lautet.
Es ist „das Vierfache der Fakultät von Null“.
Und diese Unterscheidung verändert alles.
Diese kleine Herausforderung dient vor allem dazu, uns an eine wesentliche Regel zu erinnern: In der Mathematik muss man sowohl die Bedeutung der Symbole als auch die Reihenfolge der Operationen beachten.
Zeigen Sie diese Rechnung Ihren Verwandten, ohne ihnen das Ergebnis zu verraten, und fragen Sie sie, was sie herausfinden.
